А.П. Солдатов является известным, активно работающим специалистом в области дифференциальных уравнений с частными производными, автором более 80 научных статей и двух монографий. В работах А.П. Солдатова по уравнениям смешанного типа исследован ряд известных краевых задач – обобщенная задача Трикоми с отходом от характеристики, задача Франкля и др. В частности, впервые им было снято геометрическое условие на эллиптическую часть границы области в теоремах единственности решения обобщенной задачи Трикоми и задачи Франкля. Сравнительно недавно (1994-1995 гг.) А.П. Солдатовым предложены новые корректные постановки смешанных задач для модельного уравнения Лаврентьева-Бицадзе.
В большом цикле работ А.П. Солдатова построена теория одномерных сингулярных интегро-функциональных операторов, которые широко встречаются в приложениях и объединяют черты сингулярного оператора Коши и операторов Винера-Хопфа. Эти результаты легли в основу его монографии «Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций». Ряд важных результатов получен Александром Павловичем в плоской теории упругости, где им предложен новый способ редукции основных краевых задач к эквивалентной системе интегральных уравнений на границе. Известны также прикладные исследования А.П. Солдатова в теории фильтрации и прогнозе уровня грунтовых вод. В этом направлении он свыше пятнадцати лет успешно сотрудничает с Институтом прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (г. Нальчик).