Семинар «Современные проблемы математической физики»
29 марта 2023 года в 14:00 пройдет совместный семинар Института математики имени В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан и Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ Российской академии наук «Современные проблемы математической физики»
Докладчик: академик (Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека) Алимов Шавкат Арифджанович.
Название доклада: «О явлении Пински для В-эллиптических операторов».
Краткая аннотация: В работе 1956 года В. А. Ильин доказал, что разложение по собственным функциям оператора Лапласа в произвольной двумерной области кусочно-гладкой функции, имеющей разрывы первого рода вдоль гладких кривых, сходится к разлагаемой функции в каждой точке. Этот результат является обобщением классического результата Дирихле о том, что одномерный тригонометрический ряд Фурье кусочно-гладкой функции сходится в каждой точке.
В случае, когда размерность N рассматриваемой области больше двух, спектральное разложение кусочно-гладкой функции может расходиться даже в тех точках, в окрестности которых разлагаемая функции является гладкой, т. е. отсутствует локализация спектральных разложений. В этом случае, как в последующем было показано многими авторами, множество расходимости определяется геометрией поверхности разрыва разлагаемой функции.
Впервые на это явление с точки зрения так называемой квази-абсолютной сходимости в 1970 году обратил внимание В. П. Маслов, доказавший, что даже при N=2 спектральное разложение функции со слабыми разрывами на гладкой кривой L расходится квази-абсолютно в точках эволюты кривой L. Если, например, в случае N=3 функция имеет слабый разрыв вдоль некоторой сферы, то спектральное разложение данной функции хуже всего ведёт себя в центре этой сферы. В частности, если функция равна единице внутри шара и нулю вне, то в центре шара её спектральное разложение расходится.
Рассмотрев в работе 1995 года спектральное разложение характеристической функции шара, М. Пински сравнил отсутствие локализации с явлением Гиббса, благодаря чему указанное свойство Ж.-П. Каханом было названо «явлением Пински» («Pinsky phenomenon»). В работе М. Тейлора 2001 года дан подробный анализ явления Пински для операторов с гладкими коэффициентами.
В настоящем докладе рассматриваются спектральные разложения по собственным функциям эллиптического оператора с оператором Бесселя по одной из переменных в произвольной N-мерной области, примыкающей к гиперповерхности сингулярности, и излагаются необходимые условия суммируемости. Доказывается, что если спектральное разложение произвольной функции в некоторой точке данной гиперповерхности суммируется средними Рисса, то ее среднее значение по полушару с центром в указанной точке обладает обобщенной гладкостью. Приводятся примеры, иллюстрирующие связь полученных результатов с явлением Пински.
Работа выполнена совместно с Пирматовым Шамшодом Тургунбаевичем (к.ф.-м.н., доцент, Ташкентский государственный технический университет имени И.А. Каримова).
Подключение к конференции Zoom:
https://us06web.zoom.us/j/99149151731?pwd=TkZLeU1MY2d5eUpqeTJ5WUJTRHlVUT09
Идентификатор конференции: 991 4915 1731
Код доступа: 1
Руководители семинара: академик Ш. А. Алимов, профессор А. В. Псху, профессор Р. Р. Ашуров.
Секретарь семинара: Р. Т. Зуннунов.